カーディオイド曲線

May 9, 2024

カーディオイド曲線

カーディオイド曲線は、数学的に興味深い図形のひとつで、心臓の形に似ていることからその名がついています。
以下にカーディオイド曲線の特徴と数学的な性質を説明します。

1. 数学的表現:

カーディオイド曲線の極座標方程式は以下のように表されます：
$$
r = a(1 - \cos(\theta))
$$
ここで、$( r ) $は極座標系における距離、$( \theta ) $は極座標系における角度、$( a ) $は定数です。

2. 形状:

カーディオイド曲線は、原点を中心とする座標系において、放射状に伸びる葉っぱ状の形状をしています。
一般的には外側の葉っぱがより大きく、内側の葉っぱがより小さくなります。

3. 対称性:

カーディオイド曲線は$ ( x ) $軸に対して対称です。
すなわち、$( \theta = 0 ) $および$ ( \theta = \pi ) $のときに曲線は$ ( x ) $軸と交わります。

4. 極限:

カーディオイド曲線は、極限$ ( a \rightarrow 0 ) $のときに原点に収束し、極限$ ( a \rightarrow \infty ) $のときに外側の葉っぱが無限遠方に広がります。

5. 応用:

カーディオイド曲線は数学的な興味の対象としてだけでなく、様々な応用があります。
例えば、物理学や工学の問題、またグラフィックデザインやアートなどの分野で使われることがあります。

カーディオイド曲線は、その美しい形状や数学的な特性から、多くの人々に愛される図形のひとつです。

ソースコード

Pythonでカーディオイド曲線を解いてグラフ化するコードは以下のようになります：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
a = 1.0

# 角度の範囲
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)

# カーディオイド曲線の方程式
r = a * (1 - np.cos(theta))

# 極座標から直交座標系に変換
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)

# グラフ描画
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Cardioid Curve')
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

このコードは、カーディオイド曲線の方程式を解いて、極座標から直交座標系に変換し、結果をグラフ化します。

[実行結果]

ソースコード解説

以下にソースコードの詳細を解説します。

1. ライブラリのインポート:

numpyとmatplotlib.pyplotをインポートします。
これらのライブラリは、数値計算やグラフ描画のために使用されます。

2. パラメータの設定:

aという名前の定数が$1.0$に設定されています。
これはカーディオイド曲線の定数です。

3. 角度の範囲の生成:

np.linspace()関数を使用して、$0$から$(2\pi)$までの範囲を$1000$の等間隔で分割した角度の配列thetaを生成します。

4. カーディオイド曲線の方程式の計算:

カーディオイド曲線の極座標方程式$ ( r = a(1 - \cos(\theta)) ) $を使用して、各角度に対する距離$ (r) $を計算します。

5. 極座標から直交座標系への変換:

極座標から直交座標系への変換を行います。
これにより、各点の$(x)$座標と$(y)$座標が計算されます。

6. グラフの描画:

plt.plot()関数を使用して、直交座標系に変換された$(x)$と$(y)$の値をプロットします。
plt.xlabel()とplt.ylabel()を使用して、それぞれの軸にラベルを設定します。
plt.title()を使用して、グラフのタイトルを設定します。
plt.axis('equal')を使用して、軸のスケールを等しく設定します。
plt.grid(True)を使用して、グリッドを表示します。
plt.show()を使用して、グラフを表示します。

これにより、カーディオイド曲線が計算され、直交座標系に変換されてグラフ化されます。

グラフ解説

[実行結果]

このカーディオイド曲線のグラフは、極座標系で表される曲線を直交座標系に変換して描画したものです。

$X$軸と$Y$軸は直交座標系を表し、中心が原点になります。
カーディオイド曲線は、原点を中心とする座標系において、ある定数$ ( a ) $に対して極座標$ ( r ) $と角度$ ( \theta ) $の関係を表します。
グラフ上の曲線は、カーディオイド曲線の各点に対応し、$ ( x ) $軸と$ ( y ) $軸の値を持っています。
曲線の形状は、原点を中心に放射状に伸びる葉っぱ状の形をしています。
カーディオイド曲線は、数学的に興味深い図形であり、心臓の形に似ていることから「カーディオイド（心臓状）」という名前がついています。

グラフには、原点を中心にしたカーディオイド曲線が描かれ、$X$軸と$Y$軸の目盛りが表示されています。

また、グリッドが表示され、各点の位置関係が視覚的に把握しやすくなっています。

エルミート曲面

May 8, 2024

エルミート曲面

エルミート曲面は、数学的に洗練された曲面であり、二次元平面上の2つの曲線を3次元空間に拡張することで作られます。
この曲面は、二次元の曲線が空間内でどのように変形するかを視覚化するために使用されます。

エルミート曲面は通常、2つのパラメータを持つ関数で定義され、それぞれのパラメータによって曲面がどのように変化するかが決まります。
一般的に、これらのパラメータは曲面の位置と方向を制御します。

エルミート曲面は、多くの応用分野で使用されています。

例えば、コンピュータグラフィックスやCAD（コンピュータ支援設計）ソフトウェアで、自然な曲面を作成するために使用されます。
また、ロボティクスや航空宇宙工学などの分野でも、曲面のモデリングに広く活用されています。

エルミート曲面の特徴は、滑らかで美しい曲線を生成する能力にあります。
これにより、複雑な形状や曲面を簡単に表現することができ、設計や可視化のプロセスを効率化することができます。

エルミート曲面は、2つの直交する平面曲線を回転させて生成される曲面です。

以下は、Pythonでエルミート曲面を解いてグラフ化する方法の例です。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# パラメータの範囲
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(-1, 1, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)

# エルミート曲面の方程式
x = np.cosh(V) * np.cos(U)
y = np.cosh(V) * np.sin(U)
z = np.sinh(V)

# グラフ化
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')

# 軸ラベル
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

# タイトル
plt.title('Hermite Surface')

# グラフ表示
plt.show()

このコードでは、エルミート曲面のパラメータを生成し、その方程式を定義しています。

そして、Matplotlibを使用して3次元グラフを描画しています。

[実行結果]

ソースコード解説

以下、コードの詳細な説明です。

1. ライブラリのインポート：

numpy：数値計算を行うためのライブラリ。
matplotlib.pyplot：グラフ描画のためのライブラリ。
mpl_toolkits.mplot3d：3次元のグラフ描画のためのツールキット。

2. パラメータの範囲の設定：

uとvはそれぞれパラメータの範囲を指定する配列です。
np.linspace(start, stop, num)は、startからstopまでの範囲をnum個の等間隔に区切った配列を生成します。

3. パラメータのメッシュグリッドの作成：

np.meshgridを使って、uとvの組み合わせでのメッシュグリッド$(U, V)$を生成します。

4. エルミート曲面の方程式の計算：

エルミート曲面の方程式を用いて、$x$、$y$、$z$の値を計算します。
ここでは、エルミート曲面のパラメータ表現が使用されています。

5. グラフの描画：

plt.figure()を用いて新しい図を作成し、add_subplot()を使用して3Dのサブプロットを作成します。
plot_surface()関数を使用して、曲面を描画します。

6. 軸ラベルとタイトルの設定：

set_xlabel()、set_ylabel()、set_zlabel()を使用して、それぞれの軸にラベルを設定します。
plt.title()を使用してグラフのタイトルを設定します。

7. グラフの表示：

plt.show()を呼び出して、描画したグラフを表示します。

これにより、エルミート曲面が3Dプロットされ、その軸ラベルとタイトルが付加されたプロットが表示されます。

結果解説

[実行結果]

このグラフは、エルミート曲面を立体的に表現しています。
エルミート曲面は、2つの直交する平面曲線を回転させて生成される曲面であり、その形状は特徴的な波状の曲線を持ちます。

グラフの中心には曲面の頂点があり、それを中心に波状の曲面が放射状に広がっています。
曲面の外側は高くなり、内側に向かって徐々に低くなっていく形状をしています。

曲面の色は、高度（$Z$軸方向）に応じて変化しており、上部は明るく、下部は暗くなっています。
これにより、曲面の形状が視覚的に強調されます。

グラフの軸ラベルは、$X$、$Y$、$Z$の各方向を示しており、それぞれの軸がどの方向に向かっているかを示しています。

このグラフは、エルミート曲面の形状と特性を直感的に理解するのに役立ちます。

カタロイド曲面

May 7, 2024

カタロイド曲面

カタロイド曲面は、2つの円錐の底面を共有する形状の曲面です。

その特徴は以下のとおりです。

1. 形状

カタロイド曲面は、2つの円錐の底面を共有する面で構成されています。
中心部分には穴が開いた形状になっています。
曲面は中心から離れるにつれて高さが低くなっていきます。

2. 方程式

カタロイド曲面の方程式は、$x^2 + y^2 - (x^2 + y^2)^2 = 0$ で表されます。
この方程式は、平面上の点$(x, y)$の座標と、その点におけるz座標の値の関係を示しています。

3. 性質

カタロイド曲面は、鎖線の形状をしており、そのため鎖線曲面とも呼ばれます。
この曲面は、最小曲面の一種であり、曲面の面積が最小になる性質を持っています。
カタロイド曲面は、石けんの膜の形状として知られており、物理学や工学の分野で重要な役割を果たしています。

4. 応用

カタロイド曲面の形状は、建築物の設計や構造物の強度計算などに応用されています。
また、流体力学の分野では、液体の表面張力によって生じる形状としてカタロイド曲面が研究されています。

カタロイド曲面は、特異な形状と数学的な性質を併せ持つ曲面であり、様々な分野で興味深い応用があります。

この曲面の理解は、曲面の幾何学的な性質を学ぶ上で重要です。

ソースコード

カタロイド曲面の方程式は以下のように表されます。

$$
x^2 + y^2 - (x^2 + y^2)^2 = 0
$$

この方程式をPythonで解いて、グラフ化するコードは次のようになります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# カタロイド曲面の方程式
def catenoid(x, y):
    return x**2 + y**2 - (x**2 + y**2)**2

# グラフ化する範囲
x = np.linspace(-2, 2, 50)
y = np.linspace(-2, 2, 50)

X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = catenoid(X, Y)

# 3D図を描画
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')
ax.set_title('Catenoid Surface')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

このコードでは、最初にカタロイド曲面の方程式を関数catenoid(x, y)として定義しています。

次に、グラフ化する範囲をnp.linspace関数で設定し、np.meshgrid関数を使ってグリッド点を生成しています。

catenoid(X, Y)で方程式の値を計算し、ax.plot_surface関数で3D曲面を描画しています。
rstrideとcstrideで表示解像度を調整できます。
cmapでカラーマップを指定しています。

最後に、グラフにタイトルとラベルを付けて、plt.show()でグラフを表示しています。

実行すると、カタロイド曲面の3D グラフが表示されます。

[実行結果]

ソースコード解説

コードの構成は以下の通りです。

1. ライブラリのインポート

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

NumPyとMatplotlibライブラリをインポートしています。
NumPyは数値計算、Matplotlibは図の描画に使用されます。
さらに、Matplotlibの3D プロットを行うためにAxes3Dモジュールをインポートしています。

2. 方程式の定義

1 2	def catenoid(x, y): return x2 + y2 - (x2 + y2)**2

カタロイド曲面の方程式 $x^2 + y^2 - (x^2 + y^2)^2 = 0$ を関数 catenoid(x, y) として定義しています。

この関数は、入力された x と y の値に対応する z の値を返します。

3. グラフ化する範囲の設定

x = np.linspace(-2, 2, 50)
y = np.linspace(-2, 2, 50)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = catenoid(X, Y)

np.linspace(-2, 2, 50) で、$-2$から$2$までの$50$個の点を等間隔で生成しています。

これにより、グラフ化する x と y の範囲が設定されます。

次に、np.meshgrid(x, y) で X と Y の座標グリッドを作成しています。

最後に、catenoid(X, Y) で X と Y に対応する Z の値を計算しています。

4. 3D グラフの描画

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')
ax.set_title('Catenoid Surface')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

最初に plt.figure() で新しい図のウィンドウを作成し、fig.add_subplot(111, projection='3d') で3D プロットの領域を確保しています。

次に、ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis') でカタロイド曲面を描画しています。

rstrideとcstrideで描画解像度を、cmapでカラーマップを設定しています。

最後に、ax.set_title()、ax.set_xlabel()、ax.set_ylabel()、ax.set_zlabel() でグラフのタイトルと軸ラベルを設定し、plt.show() でグラフを表示しています。

このスクリプトを実行すると、カタロイド曲面の3D グラフがウィンドウに表示されます。

グラフには曲面の特徴的な形状と高さに応じた色分けがなされています。

グラフ解説

[実行結果]

グラフには以下の特徴があります。

カタロイド曲面は、2つの円すい面が共有する部分から成る曲面です。
曲面の中心部分には穴が開いた形状になっています。
曲面の高さは中心から離れるほど低くなっていきます。
曲面の色は高さに応じて変化しており、濃い色が高い部分、薄い色が低い部分を表しています。

このようにカタロイド曲面のグラフは、特徴的な形状と色分けされた高さの変化を視覚的に捉えることができます。

モンゴメリー曲面

May 6, 2024

モンゴメリー曲面

モンゴメリー曲面方程式は、特殊な3次元曲面を表す方程式です。
この曲面は、数学者ゲオルク・モンゴメリーにちなんで名付けられました。

この方程式は以下のように表されます：

$$
z^2 = x^2 + y^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a}{2} \sqrt{x^2 + y^2}
$$

この方程式にはいくつかの特徴があります：

$ (x)$、$(y)$、$(z) $は、3次元空間内の点の座標を表します。
曲面上の点の位置を定義します。
$(a) $は定数であり、曲面の形状を制御します。
$(a) $の値が異なると、曲面の形状も変化します。
方程式の右辺は、$(x) $と$ (y) $の座標によって決まる項と定数項からなります。
これらの項は曲面の形状を定義します。
方程式の左辺は$ (z) $の二乗であり、曲面上の点の$ (z) $座標を表します。
この部分が右辺の式によって決定されます。

モンゴメリー曲面は、円錐と楕円錐の特徴を持ち、特殊な形状を示します。

この曲面は、幾何学や数学の研究で興味深い対象として扱われています。

その形状や性質は、さまざまな数学的な問題や応用において重要な役割を果たしています。

ソースコード

この方程式をグラフ化するために、NumPyとMatplotlibを使用します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# モンゴメリー曲面方程式
def montgomery_surface(x, y, a):
    z = np.sqrt(x**2 + y**2 + a**2/4 - a/2 * np.sqrt(x**2 + y**2))
    return z

# x, y 座標の範囲
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 定数 a の値
a = 1

# モンゴメリー曲面の z 座標を計算
Z = montgomery_surface(X, Y, a)

# グラフ化
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')

# 軸ラベル
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

# タイトル
plt.title('Montgomery Surface (a = 1)')

# グラフ表示
plt.show()

このコードは、モンゴメリー曲面の方程式を解いて、3Dグラフとして表示します。

a の値を変えることで、異なる形状の曲面を表示することができます。

[実行結果]

ソースコード解説

以下に、ソースコードの詳細な説明を示します。

1. ライブラリのインポート

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

numpy は数値計算を行うためのライブラリであり、数値配列や数学関数を提供します。
matplotlib.pyplot はグラフ描画のためのライブラリであり、2次元のグラフやプロットを作成します。
mpl_toolkits.mplot3d は3次元のグラフを描画するためのツールキットです。

2. モンゴメリー曲面方程式の定義

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def montgomery_surface(x, y, a):
    z = np.sqrt(x**2 + y**2 + a**2/4 - a/2 * np.sqrt(x**2 + y**2))
    return z

montgomery_surface 関数は、与えられた $(x)$、$(y) $座標と定数$ (a) $に基づいて、モンゴメリー曲面の$ (z) $座標を計算します。

3. $(x) $と$ (y) $座標の範囲の設定

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x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

np.linspace 関数を使用して、$-5 $から$ 5 $までの範囲を等間隔で$100$個の点に分割した$ (x)$、$(y) $座標を生成します。
np.meshgrid 関数は、これらの$ (x)$、$(y) $座標の組み合わせを作成します。

4. 定数 (a) の値の設定

a = 1

定数$ (a) $の値を$ 1 $に設定します。

5. モンゴメリー曲面の$ (z) $座標の計算

1	Z = montgomery_surface(X, Y, a)

montgomery_surface 関数を使用して、各$ (x)$、$(y) $座標に対応する$ (z) $座標を計算します。

6. グラフ化

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fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')

plt.figure() 関数を使用して新しい図を作成します。
fig.add_subplot(111, projection='3d') は、3次元のサブプロットを追加します。
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis') は、$(x)$、$(y)$、$(z) $座標の曲面をプロットします。

7. 軸ラベルとタイトルの設定

ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.title('Montgomery Surface (a = 1)')

ax.set_xlabel、ax.set_ylabel、ax.set_zlabel で、それぞれの軸にラベルを設定します。
plt.title でグラフのタイトルを設定します。

8. グラフの表示

1	plt.show()

plt.show() で、グラフを表示します。

グラフ解説

[実行結果]

プロットされた曲面は、モンゴメリー曲面を表しています。
曲面の形状は、$(a) $の値によって変化します。
$(a) $の値が大きいほど、曲面の形状が変化します。
$x$, $y$, $z$軸にはそれぞれ座標軸が表示されています。
グラフのタイトルは、Montgomery Surface (a = 1) となっており、$(a) $の値が$1$である場合の曲面を表示しています。

このプログラムを実行することで、モンゴメリー曲面の形状を視覚的に理解することができます。

モビウス帯方程式

May 5, 2024

モビウス帯方程式

モビウス帯方程式は、三次元空間内に特殊な帯状の曲面を定義するための方程式です。

モビウス帯は、帯状の面が一度だけねじれている特殊な形状を持つことで知られています。

モビウス帯方程式は以下のように表されます：

$$
x = (1 + \frac{v}{2} \cos(\frac{u}{2})) \cos(u)
$$
$$
y = (1 + \frac{v}{2} \cos(\frac{u}{2})) \sin(u)
$$
$$
z = \frac{v}{2} \sin(\frac{u}{2})
$$

ここで、$( u ) $と$ ( v ) $はパラメータであり、それぞれ帯の周りの角度と帯の幅を表します。
これらのパラメータによって、曲面上の各点の座標$ (x, y, z) $が計算されます。

この方程式によって定義されるモビウス帯は、その特異な形状から幾何学や数学の興味深いトピックとなっています。

また、この帯の特性は、科学や工学の様々な分野で興味深い応用が見られます。

ソースコード

Pythonでこれを解いてグラフ化するには、Matplotlibを使用します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# パラメータの範囲
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(-1, 1, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)

# モビウス帯方程式の解
x = (1 + V/2 * np.cos(U/2)) * np.cos(U)
y = (1 + V/2 * np.cos(U/2)) * np.sin(U)
z = V/2 * np.sin(U/2)

# 3Dプロット
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')

# 軸ラベルの設定
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

# グラフの表示
plt.show()

このコードでは、指定されたパラメータ範囲内で$ ( x )$、$( y )$、$( z ) $の値を計算し、それを3Dプロットとして描画しています。

[実行結果]

ソースコード解説

ソースコードの各部分を説明します。

ライブラリのインポート

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

numpy：数値計算ライブラリ。
多次元配列や行列演算などを提供する。
matplotlib.pyplot：グラフ描画ライブラリ。
2次元プロットや3次元プロットを描画するために使用される。
mpl_toolkits.mplot3d.Axes3D：3次元プロットのためのサブモジュール。

パラメータの範囲の設定

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u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(-1, 1, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)

u：パラメータ$ ( u ) $の範囲を設定。
$0$から$ ( 2\pi ) $までの範囲を$100$個の等間隔に区切る。
v：パラメータ$ ( v ) $の範囲を設定。
$-1$から$1$までの範囲を$100$個の等間隔に区切る。
np.meshgrid(u, v)：パラメータ$ ( u ) $と$ ( v ) $を組み合わせたメッシュグリッドを作成する。

モビウス帯方程式の解の計算

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x = (1 + V/2 * np.cos(U/2)) * np.cos(U)
y = (1 + V/2 * np.cos(U/2)) * np.sin(U)
z = V/2 * np.sin(U/2)

モビウス帯方程式から$ ( x )$、$( y )$、$( z ) $の座標を計算する。

3Dプロットの設定

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fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')

3Dプロットを描画するための設定を行う。
fig：新しいFigureオブジェクトを作成。
ax：3Dサブプロットを作成し、現在のFigureに追加。
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')：モビウス帯の表面をプロットする。

軸ラベルの設定

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ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

軸ラベルを設定する。

グラフの表示

1	plt.show()

設定したグラフを表示する。

グラフ解説

[実行結果]

このグラフは、モビウス帯を表現しています。
モビウス帯は特殊な形状であり、帯状の面が一度だけねじれているものです。
具体的には、帯の中心を一周しても片側だけが反転するという特性を持っています。

このグラフでは、三次元空間内にモビウス帯が描かれています。
各点はパラメータ$ ( u ) $と$ ( v ) $によって定義され、それに対応する$ ( x )$、$( y )$、$( z ) $座標が計算されています。

$( x )$、$( y )$、$( z ) $軸はそれぞれ三次元空間内の座標を表します。
曲面は帯状であり、一見すると通常の帯のように見えますが、実際には一周してねじれていることが分かります。
曲面の色は ‘viridis’ カラーマップに基づいて決定され、高さや深さを視覚的に表現しています。

このグラフは、モビウス帯の特徴を視覚的に理解するのに役立ちます。

クレスパラボロイドの方程式

May 4, 2024

クレスパラボロイドの方程式

クレスパラボロイドの方程式 $ z^2 = x^2 + y^2 $は、以下のように説明できます。

この方程式は、$z$座標の2乗が、$x$座標と$y$座標の2乗和に等しいことを表しています。
左辺の$z^2$は、$z$座標の値を2乗したものです。
右辺の$x^2 + y^2$は、$x$座標と$y$座標の値をそれぞれ2乗し、その和を取ったものです。
つまり、この方程式は、ある点$(x,y,z)$において、$z$座標の2乗値が、$x$,$y$座標の2乗和に一致するような点の集合を表しています。
$z^2 = x^2 + y^2 $を満たす点は、原点$(0,0,0)$を頂点とする上に凸な放物面上にあります。
また、この方程式は$z$座標について偶関数なので、$z > 0 $と$ z < 0 $の両領域で成り立ちます。
したがって、この方程式は$z = 0 $の平面を対称面とする上下2つの放物面の集合を表すことになります。
この形状は、滑らかで連続的で自己交差のない開放曲面となります。
このような数学的性質から、クレスパラボロイドは工学や物理学の分野で重要な役割を果たしています。

つまり、クレスパラボロイドの方程式は、単純な代数式ながら、興味深い幾何学的形状を表す方程式なのです。

ソースコード

クレスパラボロイドの方程式は以下の通りです。

$$
z^2 = x^2 + y^2
$$

これをPythonでグラフ化するには、matplotlib.pylabライブラリを使います。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# グリッドデータの作成
x = np.arange(-2, 2, 0.1)
y = np.arange(-2, 2, 0.1)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = np.sqrt(X**2 + Y**2)

# 3Dプロットの準備
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 表面プロット
ax.plot_surface(X, Y, Z)
ax.plot_surface(X, Y, -Z)

# 軸ラベルとタイトル
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Cressida Paraboloid')

plt.show()

このコードでは、最初にnumpy関数で座標軸のデータを作成しています。
その後、plot_surfaceでクレスパラボロイドの上半分と下半分の曲面をプロットしています。

実行すると、以下のような3D曲面のグラフが表示されるはずです。

[実行結果]

曲面の中心部は原点で、$X$軸、$Y$軸に沿って放物線の形をしています。
$Z$軸方向には上下に対称な形状になります。

ソースコード解説

ソースコードを説明します。

1. ライブラリのインポート

1
2
3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

NumPyライブラリをnpという名前で読み込みます。
これは数値計算に使用します。
Matplotlibライブラリをpltという名前で読み込みます。
これは2D/3Dプロットに使用します。
Matplotlib の3D プロット用モジュールAxes3Dをインポートします。

2. グリッドデータの作成

x = np.arange(-2, 2, 0.1)
y = np.arange(-2, 2, 0.1)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = np.sqrt(X**2 + Y**2)

np.arange関数で、$-2$から$2$までの$0.1$刻みの1次元配列$x$と$y$を作成します。
np.meshgrid関数で、$x$と$y$の全組み合わせからなる2次元グリッド$X$、$Y$を生成します。
式$ z^2 = x^2 + y^2 $を満たす$Z$の値を計算し、$Z$配列を作成します。

3. 3Dプロットの準備

1 2	fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

plt.figure()で新しい図(Figure)オブジェクトを作成します。
fig.add_subplot()で3Dプロット用のAxes3Dオブジェクトaxを作成します。

4. 表面プロット

1 2	ax.plot_surface(X, Y, Z) ax.plot_surface(X, Y, -Z)

$X$,$Y$,$Z$データからなるパラメトリック曲面をプロットします。
2行目で$-Z$を指定することで、下側の曲面もプロットしています。

5. 軸ラベルとタイトル設定

ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y') 
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Cressida Paraboloid')

各軸に$X$,$Y$,$Z$というラベルを設定します。
プロットにCressida Paraboloidというタイトルを設定します。

6. プロットの表示

1	plt.show()

この行で作成した図をウィンドウに表示します。

以上の手順で、クレスパラボロイドの3D曲面をPythonでプロットしています。

結果解説

[実行結果]

このグラフは3次元の直交座標系 ($X$,$Y$,$Z$軸)で表されています。
曲面は2つの部分から構成されており、1つ目は上に凸な放物面、2つ目はその放物面を下向きに反転させた面です。

具体的には以下の特徴があります:

原点$(0, 0, 0)$を通る曲面
$X$軸、$Y$軸に関して点対称の形状
$X=0$平面と$Y=0$平面に沿った交線は放物線
$Z>0$の領域は上に凸な放物面
$Z<0$の領域は下に凸な放物面
$|X|$、$|Y|$が大きくなるほど$Z$の絶対値も大きくなる
$Z$軸方向に上下に無限に広がる開曲面

この形状はクレスパラボロイド(Cressida Paraboloid)と呼ばれ、数学的には$z^2 = x^2 + y^2 $の方程式で表されます。

グラフの範囲は$-2 \leqq x \leqq 2$、$-2 \leqq y \leqq 2$、$-2 \leqq z \leqq 2$となっていますが、実際の曲面はこの範囲を超えて無限に広がっています。

曲面は滑らかな放物面なので、光源を適切に設定すれば美しい光沢のある3D描画が可能です。
この形状はさまざまな工学分野で利用されています。

ロリツ環面

May 3, 2024

ロリツ環面

パラメトリック方程式を使って複雑な3次元曲線やフラクタル構造を描画することができます。

ここでは、ロリツ環面という美しい曲面をパラメトリック方程式で表現する例を示します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def lortiz_surface(u, v, a=1, b=1, c=1):
    x = a * np.cos(u) * np.cosh(v)
    y = b * np.sin(u) * np.cosh(v)
    z = c * np.sinh(v) * np.cos(u/2)
    return x, y, z

u = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
v = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)

X, Y, Z = lortiz_surface(U, V)

fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='plasma')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

このコードの説明:

lortiz_surface関数は、ロリツ環面のパラメトリック方程式を実装しています。
引数uとvはパラメータ、a、b、cはスケーリング係数です。
np.linspaceを使って、パラメータuとvの値を生成しています。
np.meshgridを使って、uとvの値から格子点を生成しています。
lortiz_surface関数を呼び出して、格子点における曲面上の点の座標(X, Y, Z)を計算しています。
plot_surface関数を使って、計算した座標から曲面をプロットしています。
rstrideとcstrideは、プロットするポリゴンの密度を制御するパラメータです。
cmap='plasma'でカラーマップを設定しています。

実行結果は以下のようになります。

[実行結果]

ロリツ環面は、非常に複雑で美しい形状をしています。
パラメトリック方程式を変更したり、異なる方程式を用いることで、さまざまな3次元曲線やフラクタル構造を生成できます。

パラメトリック方程式は、3次元グラフィックスやコンピューターグラフィックス、数学的モデリングなど、さまざまな分野で利用されています。

結果解説

[実行結果]

ロリツ環面のグラフを詳しく説明します。

このグラフは、ロリツ環面と呼ばれる3次元曲面を表しています。
ロリツ環面は、パラメトリック方程式によって定義される曲面で、以下の3つの方程式で表されます。

$$
x = a * cos(u) * cosh(v)
$$
$$
y = b * sin(u) * cosh(v)
$$
$$
z = c * sinh(v) * cos(u/2)
$$
ここで、$u$ と$v$ はパラメータ、$a$、$b$、$c$ はスケーリング係数です。

グラフ中の曲面は、$u$ と $v$ のパラメータ値を$-π$から$+π$まで変化させながら、上記の3つの方程式から計算された$(x, y, z)$の座標値をプロットしたものです。

曲面の形状は、パラメータ$u$ が変化すると環状に回転し、$v $が変化するとくびれた部分ができる非常に複雑な構造になっています。
曲面全体は、ねじれた環状の形をしています。

カラーマップには”plasma”が使われており、曲面の高さ($z$座標値)に応じて青から赤へと連続的に色が変化するよう設定されています。
青い部分が低く、赤い部分が高くなっています。

背景は黒で、曲面の輪郭が浮き出るようになっており、3次元構造をよりわかりやすく表現できます。

$X$、$Y$、$Z$軸のラベルも付けられており、それぞれの座標軸の向きと大きさを把握しやすくなっています。

このようにパラメトリック方程式を用いることで、複雑で美しい3次元曲面をコンピューターグラフィックスで表現することができます。

シェルピンスキーのガスケット

May 2, 2024

シェルピンスキーのガスケット

シェルピンスキーのガスケットは、数学的なフラクタルの一種であり、無限に続く小さな三角形から構成される図形です。

このガスケットはポーランドの数学者カジミェシュ・シェルピンスキーによって考案されました。

シェルピンスキーのガスケットは、次のような特徴を持っています。

1. 階層的な構造:

シェルピンスキーのガスケットは、再帰的なプロセスによって構築されます。
最初に正三角形を描き、その三辺の中点を結んで中央の小さな三角形を作ります。
そして、再帰的にこのプロセスを繰り返し、それぞれの小さな三角形に対して同じ操作を行います。
これにより、ガスケット全体が階層的な構造を持ちます。

2. 自己相似性:

シェルピンスキーのガスケットは、自己相似性を示します。
つまり、ガスケット全体が小さな部分にも似た形状やパターンを持っています。
これは、再帰的なプロセスが同じ操作を繰り返し適用することによって生じます。

3. フラクタル性:

シェルピンスキーのガスケットはフラクタルの一種であり、無限に細かい構造が繰り返されるため、無限の解像度で見るとその複雑さが保たれます。
これにより、ガスケットの外形の長さや面積は有限ですが、その中の構造は無限に続きます。

シェルピンスキーのガスケットは、数学的な美しさと興味深さを持ち、コンピューターグラフィックスやフラクタル幾何学などの分野で広く使用されています。

ソースコード

シェルピンスキーのガスケットをPythonで解くためには、matplotlibやnumpyなどのライブラリを使用します。
以下は、Pythonでシェルピンスキーのガスケットを生成し、グラフ化するサンプルコードです。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def midpoint(p1, p2):
    return (0.5 * (p1[0] + p2[0]), 0.5 * (p1[1] + p2[1]))

def sierpinski(points, depth):
    colors = ['r', 'g', 'b']
    for i in range(3):
        plt.plot([points[i][0], points[(i+1)%3][0]], [points[i][1], points[(i+1)%3][1]], color=colors[i])
    if depth > 0:
        sierpinski([points[0], midpoint(points[0], points[1]), midpoint(points[0], points[2])], depth-1)
        sierpinski([points[1], midpoint(points[0], points[1]), midpoint(points[1], points[2])], depth-1)
        sierpinski([points[2], midpoint(points[2], points[1]), midpoint(points[0], points[2])], depth-1)

def main():
    points = [(0, 0), (1, 0), (0.5, np.sqrt(3)/2)]
    plt.figure(figsize=(6, 6))
    sierpinski(points, 5)  # 深さ5のシェルピンスキーのガスケットを生成
    plt.axis('equal')
    plt.axis('off')
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

このコードでは、まず基本となる三角形の頂点を定義し、その三角形の各辺の中点を計算して新たな三角形を作り出す再帰関数を定義しています。

そして、再帰関数を使用して指定した深さまでシェルピンスキーのガスケットを描画します。

[実行結果]

ソースコード解説

このソースコードは、Pythonとmatplotlibを使用してシェルピンスキーのガスケットを生成し、グラフ化するものです。
以下は、各部分の詳細な説明です。

1. midpoint 関数:

1 2	def midpoint(p1, p2): return (0.5 * (p1[0] + p2[0]), 0.5 * (p1[1] + p2[1]))

この関数は、二つの点 p1 と p2 の中点を計算します。
それぞれの点は (x, y) の座標を持つタプルで表されます。
中点の座標は、各次元の座標の平均値を取ることで計算されます。

2. sierpinski 関数:

def sierpinski(points, depth):
   colors = ['r', 'g', 'b']
   for i in range(3):
       plt.plot([points[i][0], points[(i+1)%3][0]], [points[i][1], points[(i+1)%3][1]], color=colors[i])
   if depth > 0:
       sierpinski([points[0], midpoint(points[0], points[1]), midpoint(points[0], points[2])], depth-1)
       sierpinski([points[1], midpoint(points[0], points[1]), midpoint(points[1], points[2])], depth-1)
       sierpinski([points[2], midpoint(points[2], points[1]), midpoint(points[0], points[2])], depth-1)

この関数は、与えられた三角形の頂点を受け取り、指定された深さまでシェルピンスキーのガスケットを描画します。
各三角形の辺は異なる色で描かれます。
再帰的なアプローチが使用され、各三角形はその頂点の中点を使って三つの小さな三角形に分割されます。

3. main 関数:

def main():
   points = [(0, 0), (1, 0), (0.5, np.sqrt(3)/2)]
   plt.figure(figsize=(6, 6))
   sierpinski(points, 5)  # 深さ5のシェルピンスキーのガスケットを生成
   plt.axis('equal')
   plt.axis('off')
   plt.show()

この関数は、プログラムのエントリーポイントとして機能します。
まず、基本となる三角形の頂点が定義され、sierpinski 関数が呼び出されて指定された深さまでのシェルピンスキーのガスケットを生成します。
最後に、グラフが表示されます。

4. `if name == "main":`:

これは、Pythonのスクリプトが直接実行された場合に main 関数が呼び出されることを確認するための条件です。
これにより、このスクリプトが他のスクリプトからインポートされた場合には main 関数が呼び出されないようになります。

このソースコードは、シェルピンスキーのガスケットを再帰的な手法を使用して生成し、matplotlibを使用してグラフ化することで、シェルピンスキーの美しい幾何学的な図形を視覚化しています。

グラフ解説

[実行結果]

このプログラムは、シェルピンスキーのガスケットを生成し、matplotlibを使用してグラフ化します。
以下は、プログラムが生成する内容の詳細な説明です。

三角形の定義:
最初に、シェルピンスキーのガスケットを構成する基本となる三角形の頂点が定義されます。
この例では、座標が (0, 0)、(1, 0)、(0.5, √3/2) の三つの頂点を持つ正三角形が使用されます。
中点の計算:
次に、与えられた三角形の各辺の中点を計算する midpoint 関数が定義されます。
この関数は、二つの頂点の座標を受け取り、それらの中点の座標を返します。
再帰的な描画:
sierpinski 関数は、与えられた三角形と深さに基づいて、シェルピンスキーのガスケットを再帰的に描画します。
具体的には、与えられた三角形の各辺の中点を使用して新しい三角形を作成し、それぞれの新しい三角形に対して再帰的に同じ処理を行います。
深さが$0$に達するまでこの処理を繰り返します。
グラフの描画:
main 関数では、matplotlibを使用してグラフを描画します。
sierpinski 関数を呼び出してシェルピンスキーのガスケットを描画し、plt.axis('equal')とplt.axis('off')を使用して、図形のアスペクト比を保持し、軸を非表示にします。

このプログラムは、再帰的なアプローチを使用して、シェルピンスキーのガスケットを生成し、美しい幾何学的な図形を作成します。

コッホ雪片（Koch snowflake）

May 1, 2024

コッホ雪片（Koch snowflake）

コッホ雪片（Koch snowflake）は、フラクタル幾何学の代表的な図形の1つです。
スウェーデンの数学者Helge von Kochによって提案されました。
コッホ雪片は、次のような手順で構築されます。

1. 始点の設定:

最初に、正三角形（すなわち、$3$つの等しい長さの辺と$3$つの$60$度の内角を持つ図形）を描きます。

2. 分割:

各辺を$3$等分し、中央の$1/3$地点に新しい頂点を追加します。
これにより、正三角形の各辺が4つの小さな正三角形に分割されます。

3. 内側の辺の追加:

新しい頂点を中心として、外側の辺の中心に向かって、正三角形の$1/3$の長さの辺を追加します。
これにより、外側の辺が内側に折り返されます。

4. 再帰:

生成された小さな三角形に対して、同じ手順を再帰的に適用します。
各ステップで、図形はより細かい詳細を持つより複雑な形状に進化します。

5. 極限に向かって:

無限に続くこのプロセスにより、図形の周囲は収束し、コッホ雪片と呼ばれる図形が形成されます。

コッホ雪片は、境界の長さが無限になるにつれて、形状が複雑になり、自己相似性（自分自身の一部が全体と似ている性質）を持つフラクタルとして知られています。

このようにして、コッホ雪片は独特の幾何学的美しさと複雑さを持ち、数学や美術など様々な分野で興味深い研究対象として扱われています。

ソースコード

コッホ雪片（Koch snowflake）をPythonで生成し、matplotlibを使用してグラフ化するコードを以下に示します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def koch_snowflake(order, length):
    if order == 0:
        # 基本の三角形の頂点座標
        return np.array([[0, 0], [length/2, length*np.sqrt(3)/2], [length, 0]])
    else:
        # 前のオーダーの座標
        points = koch_snowflake(order-1, length)
        new_points = [points[0]]
        for i in range(len(points)-1):
            # 現在の辺を3等分する点の座標を計算
            p1 = points[i]
            p2 = points[i+1]
            dx = p2[0] - p1[0]
            dy = p2[1] - p1[1]
            new_points.append(p1 + np.array([dx/3, dy/3]))
            new_points.append(p1 + np.array([dx/2 + np.sqrt(3)*dy/6, dy/2 - np.sqrt(3)*dx/6]))
            new_points.append(p1 + np.array([2*dx/3, 2*dy/3]))
            new_points.append(p2)
        return np.vstack(new_points)

def plot_koch_snowflake(order, length):
    snowflake = koch_snowflake(order, length)
    plt.figure(figsize=(8, 8))
    plt.title("Koch Snowflake (order = {})".format(order))
    plt.plot(snowflake[:, 0], snowflake[:, 1], 'b-')
    plt.axis('equal')
    plt.axis('off')
    plt.show()

# コッホ雪片のオーダーと辺の長さ
order = 4
length = 300

# コッホ雪片のプロット
plot_koch_snowflake(order, length)

このコードは、指定されたオーダーと辺の長さに基づいてコッホ雪片を生成し、matplotlibを使用してグラフ化します。

[実行結果]

ソースコード解説

以下は、コードの詳細な説明です。

1. 必要なライブラリのインポート:

1 2	import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

numpyは、数値計算を行うためのPythonライブラリです。
matplotlib.pyplotは、グラフ描画機能を提供するMatplotlibライブラリのサブモジュールです。

2. コッホ雪片を生成する関数の定義:

1 2	def koch_snowflake(order, length): ...

orderとlengthを引数として受け取り、指定されたオーダーと辺の長さに基づいてコッホ雪片の頂点座標を計算します。
再帰的なアプローチを使用して、コッホ雪片の各オーダーの頂点座標を計算します。

3. コッホ雪片をプロットする関数の定義:

1 2	def plot_koch_snowflake(order, length): ...

orderとlengthを引数として受け取り、指定されたオーダーと辺の長さで生成されたコッホ雪片をプロットします。
koch_snowflake関数を呼び出してコッホ雪片の頂点座標を取得し、それをmatplotlibを使用して描画します。

4. コッホ雪片のオーダーと辺の長さの指定:

1 2	order = 4 length = 300

order変数には、コッホ雪片のオーダーを指定します。
オーダーが大きいほど、より詳細なコッホ雪片が生成されます。
length変数には、コッホ雪片の辺の長さを指定します。

5. コッホ雪片のプロット:

1	plot_koch_snowflake(order, length)

plot_koch_snowflake関数を呼び出して、指定されたオーダーと辺の長さでコッホ雪片をプロットします。

これらの手順によって、指定されたオーダーと辺の長さでコッホ雪片が生成され、matplotlibを使用してグラフ化されます。

グラフ解説

[実行結果]

以下は、グラフに表示される内容の詳細です。

1. コッホ雪片の生成:

koch_snowflake関数は、指定されたオーダー（order）と辺の長さ（length）に基づいて、コッホ雪片の頂点の座標を計算します。
コッホ雪片は再帰的な方法で生成され、与えられたオーダーに応じて詳細な構造が形成されます。

2. グラフの描画:

plot_koch_snowflake関数は、生成されたコッホ雪片をmatplotlibを使用してプロットします。
プロットされたコッホ雪片は青色の線で表され、その形状はコッホ曲線の特徴的な三角形の形状を持ちます。
グラフのタイトルは、「Koch Snowflake (order = 指定されたオーダー)」となります。

3. グラフの設定:

plt.figure関数によって、図のサイズが設定されます。
plt.title関数によって、グラフにタイトルが追加されます。
plt.plot関数は、コッホ雪片の頂点座標を線でつなぎ、コッホ雪片を描画します。
plt.axis('equal')によって、$x$軸と$y$軸の比率が等しくなり、コッホ雪片の歪みがなくなります。
plt.axis('off')は、$x$軸と$y$軸の目盛りや枠線を非表示にします。

4. 表示される内容:

グラフに表示される内容は、生成されたコッホ雪片の形状です。
コッホ雪片は、フラクタル図形の一種であり、無限に複雑な形状を持つ三角形です。
このグラフは、コッホ雪片のオーダーに応じた細かい構造を視覚的に示しています。

バーニー龍（Barnsley Dragon）

April 30, 2024

バーニー龍（Barnsley Dragon）

バーニー龍（Barnsley Dragon）は、数学的なフラクタルであり、フラクタルジオメトリの一例です。

これは、1988年にマイケル・バーンズリー（Michael Barnsley）によって提案されました。
バーニー龍は、確率的な方法で生成されるフラクタル図形であり、自己相似性を示します。

バーニー龍の生成は、$2$つの確率的な変換に基づいています。
これらの変換は、$4\times4$の行列で表され、点を新しい位置に移動させます。

その後、ランダムに変換が選択され、次の位置に点が移動します。
このプロセスを繰り返すことで、複雑なフラクタル図形が生成されます。

バーニー龍は、ジュリア集合の一種であり、幾何学的に美しいパターンを持ちます。
多くの場合、計算機グラフィックスや美術、数学の教育などの分野で使用され、その視覚的な魅力と数学的な興味深さから広く注目されています。

ソースコード

以下は、Pythonを使用してバーニー龍を生成し、matplotlibを使用してグラフ化する例です。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def barnsley_dragon(n_points):
    # 初期点
    x, y = 0, 0
    # バーニー龍の変換確率
    p = [0.7875, 0.2125]
    # 変換行列
    m = np.array([[0.824074, 0.281482, -0.212346, 0.864198, 1.6, -0.4],
                  [-0.212346, 0.864198, 0.281482, 0.824074, 0.0, 1.6]])

    points = [(x, y)]
    for _ in range(n_points):
        # ランダムに変換を選択
        i = np.random.choice(range(len(p)), p=p)
        # 変換を適用
        x, y = m[i, 0]*x + m[i, 1]*y + m[i, 4], m[i, 2]*x + m[i, 3]*y + m[i, 5]
        points.append((x, y))
    
    return points

def plot_barnsley_dragon(points):
    # バーニー龍を描画
    plt.figure(figsize=(8, 8))
    plt.title("Barnsley Dragon")
    plt.scatter(*zip(*points), s=0.2, color='green')
    plt.axis('equal')
    plt.axis('off')
    plt.show()

# ポイントの数
n_points = 100000
# バーニー龍の生成
points = barnsley_dragon(n_points)
# バーニー龍の描画
plot_barnsley_dragon(points)

このコードは、指定された数の点を生成し、それらの点をmatplotlibを使用してプロットします。

[実行結果]

ソースコード解説

ソースコードを説明します。

1. NumPyとMatplotlibのインポート:

1 2	import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

この部分は、NumPyとMatplotlibをインポートしています。
NumPyは数値計算のためのライブラリであり、Matplotlibはグラフの描画や可視化のためのライブラリです。

2. バーニー龍の生成関数:

def barnsley_dragon(n_points):
   # 初期点
   x, y = 0, 0
   # バーニー龍の変換確率
   p = [0.7875, 0.2125]
   # 変換行列
   m = np.array([[0.824074, 0.281482, -0.212346, 0.864198, 1.6, -0.4],
                 [-0.212346, 0.864198, 0.281482, 0.824074, 0.0, 1.6]])

   points = [(x, y)]
   for _ in range(n_points):
       # ランダムに変換を選択
       i = np.random.choice(range(len(p)), p=p)
       # 変換を適用
       x, y = m[i, 0]*x + m[i, 1]*y + m[i, 4], m[i, 2]*x + m[i, 3]*y + m[i, 5]
       points.append((x, y))
   
   return points

この部分は、バーニー龍を生成する関数です。
バーニー龍は確率的な方法で生成されるため、初期点から始めてランダムな変換を繰り返し適用します。

3. バーニー龍の描画関数:

def plot_barnsley_dragon(points):
   # バーニー龍を描画
   plt.figure(figsize=(8, 8))
   plt.title("Barnsley Dragon")
   plt.scatter(*zip(*points), s=0.2, color='green')
   plt.axis('equal')
   plt.axis('off')
   plt.show()

この部分は、バーニー龍を描画する関数です。
matplotlib.pyplot.scatterを使用して、生成された点をプロットし、matplotlib.pyplot.showでグラフを表示します。

4. バーニー龍の生成と描画:

# ポイントの数
n_points = 100000
# バーニー龍の生成
points = barnsley_dragon(n_points)
# バーニー龍の描画
plot_barnsley_dragon(points)

この部分では、指定された数の点を生成し、barnsley_dragon関数でバーニー龍を生成し、plot_barnsley_dragon関数で描画しています。

結果解説

[実行結果]

以下は、グラフに表示される内容の詳細です。

1. バーニー龍の生成:

barnsley_dragon関数は、指定された数の点を生成します。
この関数は、バーニー龍の確率的な変換を実行し、各変換に基づいて点を移動します。
バーニー龍は、$2$つの確率変換からなり、各変換には$6$つの変換行列のパラメータがあります。
これらのパラメータは、バーニー龍の形状と配置に影響します。

2. グラフの描画:

plot_barnsley_dragon関数は、生成された点をmatplotlibを使用してプロットします。
各点は緑色の小さな円で表示され、その位置はバーニー龍の形状を反映しています。
グラフのタイトルは「Barnsley Dragon」となっています。

3. グラフの設定:

plt.figure関数によって、図のサイズが設定されています。
plt.title関数によって、グラフにタイトルが追加されます。
plt.scatter関数は、点を散布図としてプロットします。
plt.axis('equal')によって、$x$軸と$y$軸の比率が等しくなります。
plt.axis('off')は、$x$軸と$y$軸の目盛りや枠線を非表示にします。

4. 表示される内容:

グラフに表示される内容は、生成されたバーニー龍の形状です。
バーニー龍は、幾何学的に複雑なフラクタル構造を持つ図形であり、ランダムな変換を繰り返すことで生成されます。
このグラフは、そのようなフラクタル図形の一例を示しています。