偏心楕円体

偏心楕円体

偏心楕円体の方程式を考えます：

$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
$$

ここで、$ ( a, b, c ) $はそれぞれ楕円体の軸の長さを表します。

この方程式は、中心が原点にあり、軸が $x$, $y$, $z$ 軸に沿った偏心楕円体を表します。

これをPythonで解いて3Dグラフを作成する手順を示します。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 楕円体のパラメータ設定
a = 1.0  # x軸方向の長さ
b = 2.0  # y軸方向の長さ
c = 3.0  # z軸方向の長さ

# パラメータの範囲設定
u = np.linspace(-1, 1, 100)
v = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)

# 楕円体の方程式をパラメータ表示で定義
x = a * np.sqrt(1 - U**2) * np.cos(V)
y = b * np.sqrt(1 - U**2) * np.sin(V)
z = c * U

# 3Dプロット
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 楕円体をプロット
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis', edgecolor='k')

# 軸ラベルの設定
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

# グラフのタイトル
plt.title('Eccentric Ellipsoid')

# グラフを表示
plt.show()

このコードでは、楕円体の方程式をパラメータ表示で定義し、その表面を plot_surface 関数を用いて3Dプロットしています。

ここでは楕円体の軸の長さをそれぞれ$ (a = 1)$、$(b = 2)$、$(c = 3) $と設定しましたが、これらの値を変更することで異なる形状の偏心楕円体を描画することができます。

[実行結果]

このようにして、数学的な方程式をPythonで解いて3Dグラフ化することができます。

ソースコード解説

このソースコードは、Pythonを使用して楕円体を3Dで描画するためのプログラムです。

以下に、コードの詳細な説明を示します。

1. ライブラリのインポート:

  • import numpy as np: 数値計算や配列操作のためのライブラリnumpyをnpとしてインポートします。
  • import matplotlib.pyplot as plt: グラフ描画のためのライブラリmatplotlibからpyplotモジュールをpltとしてインポートします。
  • from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D: 3Dグラフ描画のためのAxes3Dクラスをインポートします。

2. 楕円体のパラメータ設定:

  • a = 1.0: $x$軸方向の長さを表すパラメータです。
  • b = 2.0: $y$軸方向の長さを表すパラメータです。
  • c = 3.0: $z$軸方向の長さを表すパラメータです。

3. パラメータの範囲設定:

  • u = np.linspace(-1, 1, 100): パラメータuの値を$-1$から$1$まで$100$個の等間隔の値で生成します。
  • v = np.linspace(0, 2*np.pi, 100): パラメータ$v$の値を$0$から$2π$まで$100$個の等間隔の値で生成します。
  • U, V = np.meshgrid(u, v): $u$と$v$の値の組み合わせに基づいて$U$と$V$のメッシュグリッドを生成します。

4. 楕円体の方程式をパラメータ表示で定義:

  • x = a * np.sqrt(1 - U**2) * np.cos(V): $x$座標を楕円体のパラメータに基づいて計算します。
  • y = b * np.sqrt(1 - U**2) * np.sin(V): $y$座標を楕円体のパラメータに基づいて計算します。
  • z = c * U: $z$座標を楕円体のパラメータに基づいて計算します。

5. 3Dプロットの準備:

  • fig = plt.figure(figsize=(8, 8)): グラフの描画領域（Figureオブジェクト）を作成し、サイズを指定します。
  • ax = fig.add_subplot(111, projection='3d'): 3D描画用のサブプロット（Axes3Dオブジェクト）を作成します。

6. 楕円体をプロット:

  • ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis', edgecolor='k'): 生成した楕円体の座標データを用いて、3D曲面をプロットします。

カラーマップは’viridis’を使用し、エッジカラーは黒色で指定します。

7. 軸ラベルの設定:

  • ax.set_xlabel('X'): $x$軸のラベルを設定します。
  • ax.set_ylabel('Y'): $y$軸のラベルを設定します。
  • ax.set_zlabel('Z'): $z$軸のラベルを設定します。

8. グラフのタイトル設定:

  • plt.title('Eccentric Ellipsoid'): グラフにタイトルを設定します。

9. グラフの表示:

  • plt.show(): これまでに設定したグラフを表示します。

これにより、楕円体のパラメータを調整して3Dプロットを行うことができます。

楕円体の長さや形状を変えるには、パラメータa、b、cを変更してみてください。

結果解説

[実行結果]

このプログラムは、楕円体を3Dグラフとして描画するものです。

楕円体の方程式をパラメータ表示で定義し、それを用いて楕円体の表面をプロットしています。

以下に、グラフに表示される内容を詳しく説明します。

1. 楕円体の方程式:

楕円体のパラメータ表示において、楕円体の方程式は次のように定義されています。

  • x = a * np.sqrt(1 - U**2) * np.cos(V)
  • y = b * np.sqrt(1 - U**2) * np.sin(V)
  • z = c * U
    ここで、UとVはパラメータであり、Uは楕円体の軸方向に沿った位置を示し、Vは楕円体の周囲を回る位置を示します。
    a、b、cはそれぞれ楕円体の長軸、中軸、短軸の長さを表します。

2. 楕円体の形状:

楕円体の形状はパラメータa、b、cによって決まります。
aは$x$軸方向の長さ、bは$y$軸方向の長さ、cは$z$軸方向の長さを表します。
これらの値を変更すると、楕円体の形状が変わります。

3. 3Dプロット:

ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis', edgecolor='k')により、楕円体の表面が3Dプロットされます。
x、y、zは楕円体の表面の座標を示し、cmap='viridis'はカラーマップを設定し、edgecolor='k'はエッジの色を黒に設定しています。

4. 軸ラベル:

ax.set_xlabel('X')、ax.set_ylabel('Y')、ax.set_zlabel('Z')によって、各軸のラベルが設定されます。
これにより、各軸が何を表しているかが分かりやすくなります。

5. グラフのタイトル:

plt.title('Eccentric Ellipsoid')によって、グラフのタイトルが設定されます。
ここでは「Eccentric Ellipsoid」というタイトルが付けられていますが、このタイトルは必要に応じて変更できます。

6. グラフの表示:

plt.show()によって、設定されたグラフが表示されます。
これにより、楕円体の形状や表面が3D空間で視覚化されます。

このプログラムを実行することで、楕円体の形状やパラメータを自由に変更して、異なる楕円体を描画することができます。

楕円体の形状や向きを調整することで、さまざまな3Dグラフを生成できるため、楕円体のパラメータを変更して試してみてください。