モノレールの運動

モノレールの運動

モノレールの運動に関する方程式の一例として、モノレール上を移動する列車の位置$ ( x ) $の時間変化を表す単純なモデルを考えます。

ここでは、列車の加速度$ ( a ) $と初速度$ ( v_0 ) $を用いて、次のような運動方程式を考えます。

$$
x(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
$$

Pythonを使用してこの運動方程式を解き、結果をグラフ化します。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
v0 = 10  # 初速度 (m/s)
a = 2    # 加速度 (m/s^2)

# 時間の設定
t = np.linspace(0, 10, 100)  # 0から10までの時間を100分割

# 位置の計算
x = v0 * t + 0.5 * a * t**2

# 結果をプロット
plt.plot(t, x, 'b-', label='Position')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Position (m)')
plt.title('Position of Monorail Train Over Time')
plt.legend(loc='best')
plt.grid()
plt.show()

このコードでは、初速度を$ ( v_0 = 10 , \text{m/s} )$、加速度を$ ( a = 2 , \text{m/s}^2 ) $としています。

$0$から$10$までの時間を$100$分割し、その範囲で列車の位置$ ( x ) $を計算しています。

計算結果をプロットしています。

[実行結果]

ソースコード解説

このソースコードは、Pythonを使用してモノレール上を移動する列車の位置を時間の関数として計算し、グラフ化するものです。

以下では、コードの構造と各部分の機能について詳しく説明します。

1. ライブラリのインポート

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
  • numpy：数値計算用のライブラリ。
    配列操作や数学関数などを提供。
  • matplotlib.pyplot：グラフ描画用のライブラリ。
    グラフの作成やカスタマイズが可能。

2. パラメータの設定

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v0 = 10  # 初速度 (m/s)
a = 2    # 加速度 (m/s^2)
  • v0：列車の初速度を表すパラメータ。
    単位はメートル毎秒$（m/s）$。
  • a：列車の加速度を表すパラメータ。
    単位はメートル毎秒の二乗$（m/s^2）$。

3. 時間の設定

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t = np.linspace(0, 10, 100)  # 0から10までの時間を100分割
  • np.linspace(0, 10, 100)：$0$から$10$までの時間を$100$等分した配列を生成する。
    これにより、$0$秒から$10$秒までの時間を$100$等分して、各時間の値が生成される。

4. 位置の計算

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x = v0 * t + 0.5 * a * t**2
  • x：列車の位置を表す配列。
    初速度と時間の関数として位置を計算し、配列に格納する。
  • 位置$ ( x ) $は、初速度$ ( v_0 ) $と時間$ ( t ) $、加速度$ ( a ) $を用いた運動方程式から計算される。

5. 結果のプロット

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plt.plot(t, x, 'b-', label='Position')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Position (m)')
plt.title('Position of Monorail Train Over Time')
plt.legend(loc='best')
plt.grid()
plt.show()
  • plt.plot(t, x, 'b-', label='Position')：時間$ ( t ) $に対する位置$ ( x ) $のグラフを作成し、青色の実線でプロットする。ラベルは’Position’として指定される。
  • plt.xlabel('Time (s)')：x軸（横軸）のラベルを設定する。
    単位は秒（s）。
  • plt.ylabel('Position (m)')：y軸（縦軸）のラベルを設定する。
    単位はメートル（m）。
  • plt.title('Position of Monorail Train Over Time')：グラフのタイトルを設定する。
  • plt.legend(loc='best')：凡例を表示する。
    ‘best’は自動的に最適な位置に凡例を配置するオプション。
  • plt.grid()：グリッド線を表示する。
  • plt.show()：グラフを表示する。

これらの手順により、モノレール上を移動する列車の位置を時間の関数として計算し、グラフ化しています。

結果解説

[実行結果]

このグラフは、モノレール上を移動する列車の位置を時間の関数として表しています。
具体的には、縦軸が列車の位置（メートル）、横軸が時間（秒）を表しています。

青い線がグラフ上に描かれており、これは時間とともに列車の位置がどのように変化するかを示しています。
列車は最初の位置から始まり、時間が経つにつれて加速度 $ ( a ) $の影響で移動し、初速度 $ ( v_0 ) $も考慮されます。

グラフが直線の二次関数の形をしていることから、列車の移動が一様に加速されていることがわかります。
初速度$ ( v_0 ) $と加速度$ ( a ) $の値によって、この直線の傾きや曲率が決まります。