シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー方程式

理論物理学で使われる複雑な数式として、シュレーディンガー方程式を挙げてみましょう。

シュレーディンガー方程式は量子力学における基本的な方程式の1つです。

$$
[
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(\mathbf{r}, t) \psi
]
$$

こちらの方程式を使って、2次元のハーモニック・オシレーターの確率密度をプロットするPythonの例を示します。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 2Dハーモニック・オシレーターの確率密度関数
def harmonic_oscillator(x, y):
    return np.exp(-x**2 - y**2) * np.cos(2 * x) * np.sin(2 * y)**2

# メッシュグリッドの生成
x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = np.linspace(-3, 3, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = harmonic_oscillator(X, Y)

# 2Dプロット
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.contourf(X, Y, Z, cmap='viridis')
plt.colorbar()
plt.xlabel('x-axis')
plt.ylabel('y-axis')
plt.title('2D Harmonic Oscillator Probability Density')
plt.show()

このコードは、2次元のハーモニック・オシレーターの確率密度関数を定義し、それをプロットしています。

得られる2Dプロットは、確率密度が異なる位置においてどのように分布するかを示しています。

[実行結果]

ソースコード解説

このプログラムは、2次元のハーモニック・オシレーターの確率密度関数を計算し、その結果を2次元プロットで視覚化しています。

1. import文:

  • numpyとmatplotlib.pyplotをインポートし、数値計算とプロット機能を使用できるようにします。

2. harmonic_oscillator関数:

  • 2次元ハーモニック・オシレーターの確率密度関数を定義しています。
  • この関数は、引数として$x座標$と$y座標$を受け取り、その位置における確率密度を計算します。
  • 式には指数関数、三角関数が含まれており、座標に基づいて確率密度が計算されます。

3. メッシュグリッドの生成:

  • np.linspace()を使用して、$-3$から$3$までの$x軸$と$y軸$の値を生成します。
  • np.meshgrid()を使用して、これらの値からメッシュグリッドを生成します。
  • 生成されたメッシュグリッドは、確率密度関数の各座標に対応します。

4. 2Dプロット:

  • plt.figure()を使用して図のサイズを指定します。
  • plt.contourf()を使用して、2次元の等高線プロットを作成します。
    等高線は確率密度を表し、カラーマップ（viridis）で表現されます。
  • plt.colorbar()を使用して、カラーバーを表示し、色と確率密度の関連付けを提供します。
  • plt.xlabel()とplt.ylabel()を使用して、$x軸$と$y軸$のラベルを指定します。
  • plt.title()を使用して、プロットのタイトルを設定します。
  • plt.show()でプロットを表示します。

このプログラムは、2次元のハーモニック・オシレーターの確率密度を計算し、等高線プロットとして視覚化しています。

等高線の濃淡が異なる領域での確率密度を示しており、それによって確率密度の分布を視覚的に理解できます。

グラフ解説

[実行結果]

このプロットは、2次元のハーモニック・オシレーターの確率密度関数を示しています。
ハーモニック・オシレーターは、量子力学や物理学で頻繁に使われるモデルの1つで、振動する粒子や原子の運動を表現します。

プロットされたグラフは、ハーモニック・オシレーターの確率密度を示しており、色の濃淡で異なる確率密度を表現しています。
色が濃い領域ほど高い確率密度を持ち、色が薄い領域ほど低い確率密度を持ちます。

ここで使用された確率密度関数は、指数関数や三角関数を組み合わせたもので、粒子の位置の特定の座標における確率を表現しています。

このプロットから、確率密度が異なる位置でどのように変化するかを視覚的に理解することができます。

$x軸$と$y軸$は、ハーモニック・オシレーターの位置座標を示しており、それぞれの座標での確率密度をカラーマップを用いて表現しています。