エルミート多項式

エルミート多項式

エルミート多項式は、次の微分方程式を満たす多項式です：

$$
\frac{d^2 H_n(x)}{dx^2} - 2x \frac{dH_n(x)}{dx} + 2n H_n(x) = 0
$$

この微分方程式をPythonで解き、グラフ化するために、SciPyのodeint関数を使用します。

以下は、このタスクを実行するPythonコードです。

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import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

# エルミート多項式の微分方程式
def hermite_eq(y, x, n):
    dydx = [y[1], 2*x*y[1] - 2*n*y[0]]
    return dydx

# 初期条件と解く範囲の設定
x = np.linspace(-5, 5, 1000)  # xの範囲
y0 = [1, 0]  # 初期条件 H_0(x) = 1, H_0'(x) = 0

# エルミート多項式の計算
n_values = [0, 1, 2, 3]  # nの値
for n in n_values:
    y = odeint(hermite_eq, y0, x, args=(n,))
    plt.plot(x, y[:, 0], label=f'n={n}')

plt.title("Hermite Polynomials")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("H_n(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

このコードは、エルミート多項式を計算し、$n=0,1,2,3$に対する結果をグラフ化します。

グラフの$x軸$は$-5$から$5$の範囲で、$y軸$はエルミート多項式 $(H_n(x))$の値です。

[実行結果]

ソースコード解説

以下にコードの詳細な説明を示します。

1. ライブラリのインポート:

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import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
  • numpyは数値計算用のライブラリであり、配列操作や数値計算機能を提供します。
  • scipy.integrate.odeintは常微分方程式の数値積分を行う関数です。
  • matplotlib.pyplotはグラフの描画を行うためのライブラリです。

2. エルミート多項式の微分方程式の定義:

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def hermite_eq(y, x, n):
    dydx = [y[1], 2*x*y[1] - 2*n*y[0]]
    return dydx
  • hermite_eq関数はエルミート多項式の微分方程式を定義しています。
    この微分方程式は2階の常微分方程式です。

3. 初期条件と解く範囲の設定:

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x = np.linspace(-5, 5, 1000)  # xの範囲
y0 = [1, 0]  # 初期条件 H_0(x) = 1, H_0'(x) = 0
  • xはグラフの描画範囲であり、$-5$から$5$の範囲を$1000$等分して設定されています。
  • y0は微分方程式の初期条件です。
    ここでは、$ (H_0(x) = 1) $と$ (H_0’(x) = 0) $を設定しています。

4. エルミート多項式の計算とグラフ化:

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n_values = [0, 1, 2, 3]  # nの値
for n in n_values:
    y = odeint(hermite_eq, y0, x, args=(n,))
    plt.plot(x, y[:, 0], label=f'n={n}')
  • n_valuesはエルミート多項式の次数$ (n) $の値のリストです。
    ここでは、$0$から$3$までの整数が設定されています。
  • odeint関数を用いて微分方程式を解き、エルミート多項式の値を計算しています。
    結果は変数yに格納されます。
  • plt.plot()関数を用いて、計算されたエルミート多項式のグラフを描画します。
    ラベルにはnの値が表示されます。

5. グラフの装飾:

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plt.title("Hermite Polynomials")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("H_n(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
  • グラフのタイトル、$x軸$ラベル、$y軸$ラベルを設定します。
  • plt.legend()で凡例を表示し、plt.grid(True)でグリッドを表示します。
  • 最後にplt.show()でグラフを表示します。

これにより、エルミート多項式を微分方程式を解いて計算し、それらをグラフ化する完全なプログラムが得られます。

結果解説

[実行結果]

このプログラムは、エルミート多項式$ (H_n(x)) $を計算し、その結果をグラフ化しています。
以下はグラフに表示される内容の詳細です：

1. x軸の範囲：

$-5$から$5$の間で$1000$個の等間隔の点が生成されます。
これはグラフの横軸に対応します。

2. y軸の値：

エルミート多項式 $ (H_n(x)) $の値が計算され、それぞれの$n$に対して異なる線がプロットされます。
各線は異なる色で表されます。

3. nの値：

$n$はエルミート多項式の次数を表します。
プログラムでは、$n$が$0$から$3$までの$4$つの値を取ります。
これにより、それぞれのエルミート多項式が表示されます。

4. グラフのタイトル：

グラフのタイトルには「Hermite Polynomials」と表示されます。

5. x軸とy軸のラベル：

x軸とy軸にはそれぞれ「x」と「H_n(x)」というラベルが付けられます。

6. 凡例：

各線の凡例には、対応する$n$の値が表示されます。
これにより、各線がどのエルミート多項式に対応しているかがわかります。

7. グリッド線：

グラフにはグリッド線が表示され、視覚的な参照を提供します。