レーストラック最適化 CVXPY

レーストラック最適化

レーストラック最適化問題では、車両が最短時間でコースを周回するための最適な制御を見つけることが目的です。

この問題は、CVXPYを使用して凸最適化問題として定式化できます。

以下に、簡単な例を示します。

問題設定:

🔹車両は、一定の最大加速度と最大速度を持っています。
🔹車両は、所定のスタート地点から始まり、所定の終了地点で終わります。
🔹車両は、所定の制約条件下で最短時間でコースを周回することが目的です。

解法

CVXPYを使用して上記の問題を解いていきます。

まず、必要なライブラリをインポートします。

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import cvxpy as cp
import numpy as np

次に、問題のパラメータを定義します。

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# パラメータ
T = 100  # 時間ステップ数
dt = 0.1  # 時間ステップの長さ
v_max = 5.0  # 最大速度
a_max = 2.0  # 最大加速度

状態変数と制御変数を定義します。

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# 変数
x = cp.Variable((T, 2))  # 位置
v = cp.Variable((T, 2))  # 速度
a = cp.Variable((T - 1, 2))  # 加速度

制約条件を定義します。

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# 制約
constraints = []

# 初期条件
constraints += [x[0] == np.array([0, 0])]
constraints += [v[0] == np.array([0, 0])]

# 最終条件
constraints += [x[-1] == np.array([10, 10])]

# 動力学制約
for t in range(T - 1):
    constraints += [x[t + 1] == x[t] + dt * v[t]]
    constraints += [v[t + 1] == v[t] + dt * a[t]]

# 速度制約
constraints += [cp.norm(v, axis=1) <= v_max]

# 加速度制約
constraints += [cp.norm(a, axis=1) <= a_max]

目的関数を定義し、問題を解きます。

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# 目的関数
objective = cp.Minimize(dt * cp.sum(cp.norm(v, axis=1)))

# 問題
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# 最適化
result = problem.solve()

この例では、車両は所定のスタート地点から始まり、所定の終了地点で終わり、最大速度と最大加速度の制約の下で最短時間でコースを周回することが目的です。

CVXPYを使用して、この問題を凸最適化問題として定式化し、最適な制御を見つけることができます。

結果表示

最適化が完了したら、以下のようにして結果を表示できます。

1. 最適な総移動時間を表示する:
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print("Optimal total travel time:", result)
[実行結果]

2. 最適な軌道を表示する:
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import matplotlib.pyplot as plt

x_values = x.value[:, 0]
y_values = x.value[:, 1]

plt.plot(x_values, y_values, marker='o')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Optimal Trajectory')
plt.grid(True)
plt.show()
[実行結果]

3. 最適な速度プロファイルを表示する:
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time_steps = np.arange(T) * dt

plt.plot(time_steps, np.linalg.norm(v.value, axis=1))
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Speed (m/s)')
plt.title('Optimal Speed Profile')
plt.grid(True)
plt.show()

このコードは、最適な速度プロファイルをプロットし、時間に対する車両の速度を表示します。

[実行結果]