CVXPYのいろいろな使い方

CVXPY

CVXPYは、Pythonで最適化問題を定義して解くための強力なライブラリです。

以下に、CVXPYの基本的な使い方や便利な機能をいくつか紹介します。

1. インストール

まず、CVXPYをインストールします。

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pip install cvxpy

2. 基本的な使い方

線形最適化問題を定義して解く基本的な例を示します。

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import cvxpy as cp

# 変数の定義
x = cp.Variable()
y = cp.Variable()

# 目的関数の定義
objective = cp.Maximize(x + y)

# 制約条件の定義
constraints = [
    x + 2*y <= 1,
    x - y >= 1,
    x >= 0,
    y >= 0
]

# 問題の定義
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# 問題の解決
problem.solve()

# 結果の表示
print("Optimal value:", problem.value)
print("x:", x.value)
print("y:", y.value)

[実行結果]

Optimal value: 1.0000000001061882
x: 1.0000000002109781
y: -1.0479004738088337e-10

3. 二次最適化

CVXPYを使って二次最適化問題を解く例です。

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import numpy as np

# 変数の定義
x = cp.Variable(2)

# 目的関数の定義 (二次関数)
Q = np.array([[2, 0.5], [0.5, 1]])
objective = cp.Minimize(0.5 * cp.quad_form(x, Q))

# 制約条件の定義
constraints = [x[0] + x[1] == 1, x >= 0]

# 問題の定義
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# 問題の解決
problem.solve()

# 結果の表示
print("Optimal value:", problem.value)
print("x:", x.value)

[実行結果]

Optimal value: 0.43750000000000006
x: [0.25 0.75]

4. 線形計画問題 (Linear Programming, LP)

線形計画問題を定義して解く例です。

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# 変数の定義
x = cp.Variable(3)

# 目的関数の定義
c = np.array([1, 2, 3])
objective = cp.Minimize(c.T @ x)

# 制約条件の定義
A = np.array([[1, 1, 0], [0, 1, 1]])
b = np.array([1, 1])
constraints = [A @ x <= b, x >= 0]

# 問題の定義
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# 問題の解決
problem.solve()

# 結果の表示
print("Optimal value:", problem.value)
print("x:", x.value)

[実行結果]

Optimal value: 1.3466953587360049e-09
x: [5.70962945e-10 4.91615839e-11 2.25803082e-10]

5. ソフトな制約条件

ペナルティ付きで制約条件を緩和する方法です。

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# 変数の定義
x = cp.Variable()

# 制約条件に対するペナルティの定義
penalty = cp.Variable(pos=True)
constraints = [x + penalty >= 1, penalty >= 0]

# 目的関数の定義
objective = cp.Minimize(x + 10 * penalty)

# 問題の定義
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# 問題の解決
problem.solve()

# 結果の表示
print("Optimal value:", problem.value)
print("x:", x.value)
print("penalty:", penalty.value)

[実行結果]

Optimal value: 1.0000000000163711
x: 1.0000000000163711
penalty: 0.0

6. パラメータの使用

パラメータを使って問題の定義を柔軟に変更する方法です。

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# 変数とパラメータの定義
x = cp.Variable()
a = cp.Parameter(nonneg=True)
b = cp.Parameter(nonneg=True)

# 目的関数の定義
objective = cp.Minimize(a * x + b)

# 制約条件の定義
constraints = [x >= 0, x <= 10]

# 問題の定義
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# パラメータの値を設定して問題を解く
a.value = 2
b.value = 1
problem.solve()

print("Optimal value with a=2, b=1:", problem.value)
print("x:", x.value)

# パラメータの値を変更して再度問題を解く
a.value = 1
b.value = 3
problem.solve()

print("Optimal value with a=1, b=3:", problem.value)
print("x:", x.value)

[実行結果]

Optimal value with a=2, b=1: 1.0000000003054508
x: 1.527254291082821e-10
Optimal value with a=1, b=3: 3.0000000003691296
x: 3.691294636403306e-10

7. ソルバーの指定

特定のソルバーを使用する方法です。

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# 変数の定義
x = cp.Variable()

# 目的関数の定義
objective = cp.Minimize(x**2)

# 制約条件の定義
constraints = [x >= 1]

# 問題の定義
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# 特定のソルバーを指定して問題を解く
problem.solve(solver=cp.SCS)

print("Optimal value using SCS solver:", problem.value)
print("x:", x.value)

[実行結果]

Optimal value using SCS solver: 0.9999999999272082
x: 0.9999999999636041

これらの基本的な操作を理解することで、CVXPYを使って幅広い最適化問題を効率的に解くことができます。