カタランの最小曲面（Catalan's minimal surface）

カタランの最小曲面（Catalan's minimal surface）

カタランの最小曲面（Catalan’s minimal surface）は、最小曲面の一例です。

最小曲面とは、与えられた境界条件の下で面積が極小になる曲面のことです。

最小曲面は、特定の物理的条件下で見られる曲面で、石鹸膜の形状などがその一例です。

特徴と方程式

カタランの最小曲面は、特定のパラメトリック方程式で表されます。

以下はその特徴と方程式です：

  • 特徴:

    • カタランの最小曲面は、最小曲面の中でも比較的シンプルな形状を持ち、解析的に記述できる例です。
    • この曲面は平面上の曲線に沿った振動を持つ形状をしており、見た目には波打つような形状をしています。

  • 方程式:

    • パラメトリック方程式で表されるカタランの最小曲面は次のようになります：
      $$
      x(u, v) = u - \sin(u)
      $$
      $$
      y(u, v) = v
      $$
      $$
      z(u, v) = 1 - \cos(u)
      $$
    • ここで、$(u)$と$(v)$はパラメータであり、$(x)$, $(y)$, $(z)$はそれぞれの座標を表します。

グラフの形状

カタランの最小曲面の形状は、波打つリボンのような形状をしており、以下のような特徴を持っています：

  • 曲面が周期的に振動する形状を持ちます。
  • 振動の周期は、パラメータ$ (u) $に依存します。
  • この曲面は、与えられた境界条件の下で、エネルギーが最小となる形状をしています。

カタランの最小曲面は、数学的にも美しく、また物理的な応用（例えば、材料科学や構造力学など）にも関連する興味深い対象です。

プログラム例

カタランの最小曲面を描くためのPythonコードを示します。

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import numpy as np
import plotly.graph_objs as go

# x, yの範囲
u = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(-2, 2, 100)
u, v = np.meshgrid(u, v)

# カタランの最小曲面の方程式
x = u - np.sin(u)
y = v
z = 1 - np.cos(u)

# 3Dプロットの作成
surface = go.Surface(x=x, y=y, z=z, colorscale='Viridis')

layout = go.Layout(
    title='Catalan\'s Minimal Surface',
    scene=dict(
        xaxis=dict(title='X'),
        yaxis=dict(title='Y'),
        zaxis=dict(title='Z')
    )
)

fig = go.Figure(data=[surface], layout=layout)
fig.show()

コードの説明

  1. パラメータの設定:

    • uとvはパラメトリック方程式のパラメータで、それぞれ$x$と$y$の範囲を設定します。

  2. カタランの最小曲面の方程式:

    • x, y, zはカタランの最小曲面の座標です。
    • 方程式 x = u - np.sin(u), y = v, z = 1 - np.cos(u) を使用します。

  3. 3Dプロットの作成:

    • go.Surfaceを使って3Dプロットを作成します。
    • layoutでグラフのレイアウトを設定します。
    • fig.show()でグラフを表示します。

このコードを実行すると、カタランの最小曲面の美しい3Dプロットが表示されます。

[実行結果]