弾性衝突

問題

$ N $ 個の半径 $ R $ センチメートルのボールを使った次のような実験を行います。

上空 $ H $ メートルのところに筒を設置し、ボールを縦にいれます。

（下から $ i $ 番目のボールはその下端が $ H + 2Ri $ にあります。）

実験開始と同時に一番下のボールを落下させ、以後一秒ごとに１つずつボールを落下させます。

空気抵抗などはなく、床やほかのボールとは弾性衝突をします。

この実験の開始後、$ T $ 秒経過時点での各ボールの下端の高さを求めてください。

ただし、重加速度は $ g = 10m/s^2 $ とします。

[条件]

🔹$ 1 \leqq n \leqq 100 $
🔹$ 1 \leqq h \leqq 10000 $
🔹$ 1 \leqq r \leqq 100 $
🔹$ 1 \leqq t \leqq 10000 $

解法・ソースコード

まずは、ボールが１つだけの場合を考えます。

これはただの物理の問題となり、高さ $ H $ から落下するのにかかる時間は下記の通りです。

$$ t = \sqrt{\frac{2H}{g}} $$

したがって、時刻 $ T $ での位置は $ kt \leqq T $ となる最大の $ k $ に対して次のようになります。

🔹kが偶数の場合：　$ y = H - {\frac{1}{2}}g(T - kt)^2 $

🔹kが奇数の場合：　$ y = H - {\frac{1}{2}}g(kt + t - T)^2 $

次にボールが複数の場合を考えます。

半径 $ R $ が0と仮定します。全てのボールを同一視すると、ボール同士の衝突を無視して全てすり抜けたと見なすことができます。

衝突によってボールの順序関係は変化しないので、衝突を無視して計算した後で座標をソートすることにより、各ボールの最終的な位置を求めることができます。

また半径 $ R $ が0より大きい場合は、最終的な座標に $ 2Ri $ を足すだけとなります。

[Google Colaboratory]

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#--------- 入力例1 ----------
n = 1       # ボールの個数
h = 10      # ボールの高さ（メートル）
r = 10      # 半径（メートル）
t = 100     # 経過時間（秒）
#--------- 入力例2 ----------
# n = 2       # ボールの個数
# h = 10      # ボールの高さ（メートル）
# r = 10      # 半径（メートル）
# t = 100     # 経過時間（秒）
#----------------------------
import math
g = 10.0    # 重加速度

# 時刻 T でのボールの位置
def calc(t):
    if t < 0:
        return h
    t1 = math.sqrt(2 * h / g)
    k = int(t / t1)
    if k % 2 == 0:
        d = t - k * t1
        return h - g * d * d / 2
    else:
        d = k * t1 + t1 - t
        return h - g * d * d / 2

# 各ボールごとの最終位置を算出する
lst = [calc(t - i) for i in range(n)]

for x in sorted(lst):
    print('{:.2f}'.format(x), end=' ')
print()

[実行結果(入力例1)]

4.95

[実行結果(入力例2)]

4.95 10.00